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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,若圓x2+y2=a2被直線x﹣y﹣ =0截得的弦長為2
          (Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
          (Ⅱ)已知點A、B為動直線y=k(x﹣1),k≠0與橢圓C的兩個交點,問:在x軸上是否存在定點M,使得 為定值?若存在,試求出點M的坐標和定值;若不存在,請說明理由.

          【答案】解:(I)圓x2+y2=a2的圓心(0,0)到直線x﹣y﹣ =0的距離d= =1,

          ∴2=2 ,解得a2=2,又 = ,a2=b2+c2,

          聯(lián)立解得:a2=2,c=1=b.

          ∴橢圓C的標準方程為: +y2=1.

          (II)假設在x軸上存在定點M(m,0),使得 為定值.

          設A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立 ,化為:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,

          則x1+x2= ,x1x2=

          =(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=(x1﹣m)(x2﹣m)+k2(x1﹣1)(x2﹣1)=(1+k2)x1x2﹣(m+k2)(x1+x2)+m2+k2

          =(1+k2 ﹣(m+k2 +m2+k2

          = ,

          令2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),解得m=

          因此在x軸上存在定點M( ,0),使得 為定值


          【解析】(I)求出圓x2+y2=a2/span>的圓心(0,0)到直線x﹣y﹣ =0的距離d,利用2=2 ,解得a2,又 = ,a2=b2+c2,聯(lián)立解出即可得出.(II)假設在x軸上存在定點M(m,0),使得 為定值.設A(x1,y1),B(x2,y2),直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,

          利用根與系數的關系及其數量積運算性質可得 = ,令2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),解得m即可得出.

          【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:即可以解答此題.

          練習冊系列答案
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