Question

【題目】已知?jiǎng)訂TP過(guò)定點(diǎn) 且與圓N： 相切，記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)D（3，0）且斜率不為零的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得直線(xiàn)AQ，BQ的斜率之積為非零常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，由N： 及 ，知點(diǎn)M在圓N內(nèi)，則有 ，

從而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2 ，

∴P的軌跡C是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

設(shè)曲線(xiàn)C的方程為： （a＞b＞0），則2a=4，a=4，c= ，

b2=a2﹣c2=1

故曲線(xiàn)C的軌跡方程為 ；

（Ⅱ）依題意可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2）．，

由 ，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，則△=36m2﹣4×5×（4+m2）＞0，即m2＞4，

解得：m＞2或m＜﹣2，

由y1+y2=﹣ ，y1y2= ，x1+x2=m（y1+y2）+6= ，

x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9= ，

假設(shè)存在定點(diǎn)Q（t，0），使得直線(xiàn)AQ，BQ的斜率之積為非零常數(shù)，則

（x1﹣t）（x2﹣t）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2= ﹣t× +t2= ，

∴kAQkBQ= = = ，

要使kAQkBQ為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) ，解得t=±2，

當(dāng)t=2時(shí)，常數(shù)為 = ，

當(dāng)t=﹣2時(shí)，常數(shù)為 = ，

∴存在兩個(gè)定點(diǎn)Q1（2，0）和Q2（﹣2，0），使直線(xiàn)AQ，BQ的斜率之積為常數(shù)，

當(dāng)定點(diǎn)為Q1（2，0）時(shí)，常數(shù)為 ；當(dāng)定點(diǎn)為Q2（﹣2，0）時(shí)，常數(shù)為

【解析】（Ⅰ）由題意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2 ，則P的軌跡C是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，則a=4，c= ，b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，考查韋達(dá)定理，直線(xiàn)的斜率公式，當(dāng)且僅當(dāng) ，解得t=±2，代入即可求得，定點(diǎn)的坐標(biāo)．