Question

（本小題滿分12分）四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)E在棱PB上.若AB=,
（Ⅰ）求證：平面；   
（Ⅱ）若E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）AE與平面PDB所成的角的大小為.

本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題。
（Ⅰ）欲證平面AEC⊥平面PDB，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AEC內(nèi)一直線與平面PDB垂直，而根據(jù)題意可得AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，根據(jù)線面所成角的定義可知∠AEO為AE與平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．
解：以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)    則，
（Ⅰ）∵，∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.---------6分
（Ⅱ）當(dāng)E為PB的中點(diǎn)時(shí)，，
設(shè)AC∩BD=O，連接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為.---------12分