Question

【題目】已知圓，直線， .

（1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 的軌跡方程是，它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓

【解析】試題分析：（1）利用圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，即可判定直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)中點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，利用∵，化簡得；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，此時(shí)中點(diǎn)為，即可得到中點(diǎn)的軌跡方程；

試題解析：

證明：（1）圓的圓心為，半徑為，

所以圓心到直線的距離.

所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)中點(diǎn)為，

因?yàn)橹本�恒過定點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)， ，又，

∵，∴

化簡得.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，

此時(shí)中點(diǎn)為，也滿足上述方程.

所以的軌跡方程是，

它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓.