Question

【題目】已知x，y∈R．
（Ⅰ）若x，y滿足 ， ，求證： ；
（Ⅱ）求證：x4+16y4≥2x3y+8xy3 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得： |x|= [|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤ [|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜ （2× +3× ）= ；
（Ⅱ）因?yàn)閤4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）
=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）
=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，
∴x4+16y4≥2x3y+8xy3
【解析】（Ⅰ）|x|= [|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤ [|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜ （2× +3× ）= ；（Ⅱ）x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0即可
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解不等式的證明的相關(guān)知識(shí)，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．