Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A-PB-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設條件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB//CD，就可證明出AB⊥平面PAD.

進而證明出平面PAB⊥平面PAD.（2）先找出AD中點，找出相互垂直的線，建立以為坐標原點， 的方向為軸正方向， 為單位長的空間直角坐標系，列出所需要的點的坐標，設是平面的法向量， 是平面的法向量，根據(jù)垂直關系，求出和，利用數(shù)量積公式可求出二面角的平面角.

試題解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面內(nèi)做，垂足為，

由（1）可知， 平面，故，可得平面.

以為坐標原點， 的方向為軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由（1）及已知可得， ， ， .

所以， ， ， .

設是平面的法向量，則

，即，

可取.

設是平面的法向量，則

，即，

可取.

則，

所以二面角的余弦值為.

點睛:高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關鍵是轉化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關鍵是轉化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵.