Question

（2012•吉安縣模擬）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），平行于OM直線?在y軸上的截距為m（m＜0），設直線?交橢圓于兩個不同點A、B，
（1）求橢圓方程；
（2）求證：對任意的m的允許值，△ABM的內心I在定直線x=2上．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程，利用長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），建立方程組，從而可求橢圓的方程；
（2）證明△ABM的角平分線MI垂直x軸，從而內心I的橫坐標等于點M的橫坐標，則可得對任意的m的允許值，△ABM的內心I在定直線 x=2上．

解答：（1）解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則∵長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），
∴

a=2b 4 a2 + 1 b2

=1⇒

a2=8 b2=2

所以，橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1（5分）
（2）證明：因為直線?平行于OM，且在y軸上的截距為m，又KOM=

1

2

，所以直線?的方程為y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

⇒x2+2mx+2m2-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，（8分）
設直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

故k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0（12分）
故k₁+k₂=0，所以，△ABM的角平分線MI垂直x軸，因此，內心I的橫坐標等于點M的橫坐標，則對任意的m的允許值，△ABM的內心I在定直線 x=2上（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是聯(lián)立方程組，利用韋達定理，從而確定直線MA、MB的斜率的和為0．