Question

【題目】已知橢圓C1： +y2=1，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上， ，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為

∵橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率

∴橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上，2b=4，為

∴b=2，a=4

∴橢圓C2的方程為

（2）解：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（xA，yA），（xB，yB），

∵

∴O，A，B三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A，B不在y軸上

∴設(shè)AB的方程為y=kx

將y=kx代入 ，消元可得（1+4k2）x2=4，∴

將y=kx代入 ，消元可得（4+k2）x2=16，∴

∵ ，∴ =4 ，

∴ ，解得k=±1，

∴AB的方程為y=±x

【解析】（1）求出橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，離心率，根據(jù)橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率，即可確定橢圓C2的方程；（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（xA ， yA），（xB ， yB），根據(jù) ，可設(shè)AB的方程為y=kx，分別與橢圓C1和C2聯(lián)立，求出A，B的橫坐標(biāo)，利用 ，即可求得直線AB的方程．
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．