Question

【題目】如圖，在正方體中，E、F、G、H分別是的中點(diǎn).

（1）證明：平面

（2）證明：平面平面.

（3）求直線AE與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）用線面平行的判定定理即可證明；（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，分別找出平面和平面的一個(gè)法向量和，然后求出，即可證明平面平面；

（3）根據(jù)線面角的正弦值即為直線與平面的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即可求出結(jié)果.

（1）連接，，因?yàn)?/span>為正方體，所以四邊形為矩形，

所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；

（2）如圖以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正半軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，所以，，，所以

，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，

令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為

，又，，，所以，

，所以

即，令，所以，，所以，所以，

所以，所以平面平面；

（3）由（2）可得，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)線AE與平面

所成角為 ，所以.