Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；

（2）若函數在定義域上為單調增函數.

①求最大整數值；

②證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）①2；②見解析．

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式求切線方程（2）①先轉化條件為恒成立，再根據，得當時， 恒成立.最后舉反例說明當時， 不恒成立.②對應要證不等式，在中取，得，再根據等比數列求和公式得左邊和為，顯然.

試題解析：（1）當時， ，∴，

又，∴，

則所求切線方程為，即.

（2）由題意知， ，

若函數在定義域上為單調增函數，則恒成立.

①先證明.設，則，

則函數在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，即.

同理可證，∴,∴.

當時， 恒成立.

當時， ，即不恒成立.

綜上所述， 的最大整數值為2.

②由①知， ，令，

∴，∴.

由此可知，當時， .當時， ，

當時， ， ，當時， .

累加得.

又，

∴.