Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）求函數(shù)的極值.

（2）若.

（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（ii）求證： 時，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的極小值為；函數(shù)的極大值為；（2）（i）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（ii）見解析.

【解析】試題分析： 求的導(dǎo)函數(shù)，令，得到，或

時的增或減區(qū)間，從而求得的極值；

時，求的導(dǎo)函數(shù)，當時， 單調(diào)增， 時， 單調(diào)減，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

先求出的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，通過討論新函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論。

解析：（1）∵，∴，

∴，或，

∴上， ； 上； 上.

∴的極小值為；函數(shù)的極大值為.

（2）∵，∴， .

（i）記， ，

在上， ， 是減函數(shù)；在上， ， 是増函數(shù)，

∴.

則在上， ；在上， ，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（ii）時， ，

由（i）知， .

記，則，

在區(qū)間上， ， 是增函數(shù)；在區(qū)間上， ， 是減函數(shù)，

∴，∴，∴，

∴，即成立.