Question

【題目】設(shè)橢圓C： =1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，4），離心率為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為 的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)（0，4）代入橢圓C的方程得 =1，∴b=4，

由e= = ，得1﹣ = ，∴a=5，

∴橢圓C的方程為 =1

（2）解：過點(diǎn)（3，0）且斜率為 的直線為y= （x﹣3），

設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線方程y= （x﹣3）代入橢圓C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，

由韋達(dá)定理得x1+x2=3，

y1+y2= （x1﹣3）+ （x2﹣3）= （x1+x2）﹣ =﹣ ．

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為﹣ ，

∴所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，﹣ ）

【解析】（1）橢圓C： =1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，4），可求b，利用離心率為 ，求出a，即可得到橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)（3，0）且斜率為 的直線為y= （x﹣3），代入橢圓C方程，整理，利用韋達(dá)定理，確定線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．