Question

【題目】正五邊形的對角線分別與對角線、交于點(diǎn)、，對角線分別與對角線、交于點(diǎn)、，對角線與對角線交于點(diǎn). 設(shè)由圖2中的10個點(diǎn)、、、、、、、、、和線段構(gòu)成的等腰三角形的集合為.

（1）求中元素的數(shù)目；

（2）若將這10個點(diǎn)中的每個點(diǎn)任意染為紅、藍(lán)兩種顏色之一，問是否一定存在中的一個等腰三角形，其三個頂點(diǎn)同色？

（3）若將這10個點(diǎn)中的任意個點(diǎn)染為紅色，使得一定存在中的一個等腰三角形，其三個頂點(diǎn)同為紅色，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)35;(2)見解析；（3）6.

【解析】

（1）因?yàn)橛蓤D2中的10個點(diǎn)、、、、、、、、、和線段構(gòu)成的三角形均為等腰三角形，所以，.

（2）由抽屜原則，知、、、、中一定有三個點(diǎn)同色，且這三個點(diǎn)構(gòu)成的三角形屬于，故一定存在中的等腰三角形，其三個頂點(diǎn)同色.

（3）若，則將、、、、染為紅色，于是，不存在屬于的頂點(diǎn)同為紅色的三角形.

若，當(dāng)、、、、中有不少于三個紅點(diǎn)時(shí)，一定存在屬于且頂點(diǎn)同為紅色的三角形；當(dāng)、、、、中不少于三個紅點(diǎn)時(shí)，、、、、中至少有四個紅點(diǎn).

若、、、、中恰有四個紅點(diǎn)，不妨假設(shè)、、、為紅點(diǎn)，則、、、、中至少有兩個紅點(diǎn)，不妨假設(shè)的紅點(diǎn)，則是屬于且頂點(diǎn)同為紅色的三角形；否則，、同為紅色，于是，是屬于且頂點(diǎn)間同為紅色的三角形.

因此，的最小值為6.