Question

已知不等式x²+mx＞4x+m-4
（1）若對一切實(shí)數(shù)x使得不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對于0≤m≤4的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）中不等式恒成立，需△＜0，解出即可，（2）只需轉(zhuǎn)化表達(dá)式為不等式恒成立．

解答： 解：（1）∵x²+mx＞4x+m-4，
∴x²+mx-4x-m+4＞0，
∴△=（m-4）²+4（m-4）＜0，
解得：0＜m＜4．
（2）：x²+mx＞4x+m-4，可整理為（x-1）m+x²-4x+4＞0，
∵對于0≤m≤4的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，
∴有

(x-1)×0+x2-4x+4＞0 (x-1)×4+x2-4x+4＞0

，
即

x2-4x+4＞0 x2＞0

，
解得x≠0，且x≠2，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）；

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題、一元二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學(xué)生解決問題的能力．