Question

在如圖所示的圓柱OO₁中，過軸OO₁作截面ABCD．已知PQ是圓O異于BC的直徑．
（Ⅰ）求證：O₁B∥平面DPQ；
（Ⅱ）用平面DPQ截圓柱OO₁的側面可得到半個橢圓，該半橢圓所在橢圓以PQ為短軸，OD為長半軸，若PQ=2，且橢圓的離心率為

3

2

，試求圓柱OO₁的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連結DO，證明O₁B∥DO，通過O₁B?平面DPQ，DO?平面DPQ，即可證明O₁B∥平面DPQ；
（Ⅱ）用平面DPQ截圓柱OO₁的側面可得到半個橢圓，該半橢圓所在橢圓以PQ為短軸，OD為長半軸，若PQ=2，且橢圓的離心率為

3

2

，求出圓柱的高，即可求圓柱OO₁的體積．

解答： 解：（Ⅰ）連結DO，由題意可得，
O₁D∥BO，且O₁D=BO，∴四邊形O₁BOD為平行四邊形，
∴O₁B∥DO，
又∵O₁B?平面DPQ，
DO?平面DPQ，
∴O₁B∥平面DPQ．
（Ⅱ）設橢圓的長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，
∵橢圓的離心率為

3

2

．
∴

c

a

=

3

2

∵a²=b²+c²=b²+

3

4

a2，
∴

b

a

=

1

2

∵a=OD，b=OQ，∴

OQ

OD

=

1

2

，
∵直徑PQ=2∴OC=OQ=1，∴OD=2，
在Rt△DCO中，可求得母線DC=

3

，
即圓柱OO₁的高h=

3

，
因此，圓柱OO₁的體積V=Sh=

3

π．

點評：本題考查直線與直線，直線與平面的位置關系，圓錐曲線的性質，柱體的體積公式的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力計算能力．