Question

如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面，，，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，其重心為點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且．

（1）求證：側(cè)面；
（2）求平面與底面所成銳二面角的正切值．

Answer 1

（1）證明：連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則由題
意及相似關(guān)系可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，
從而可得，因此側(cè)面；
（2）．

試題分析：（1）要證明直線側(cè)面，即證明平行于側(cè)面的某條直線，而由題意及相似關(guān)系易知，即可證明之；
（2）這問(wèn)的關(guān)鍵是找出平面與底面所成二面角的平面角，由側(cè)面底面知，過(guò)點(diǎn)作的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則平面，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，于是即為所求二面角的平面角，然后根據(jù)相似關(guān)系可求該二面角的平面角的正切值．

試題解析：（1）證明：連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則由題意及相似關(guān)系可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以三點(diǎn)共線，從而可得，因此側(cè)面．
（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則平面，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，所以即為所求二面角的平面角且，則，并由相似關(guān)系得：，故，即為所求二面角的正切值．