Question

已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)．

（1）證明：面面；
（2）求與所成的角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析   (2) ;（3）．

試題分析：以為坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，從而由已知可得各點(diǎn)坐標(biāo)．
(1)注意到四棱錐的底面為直角梯形，，,所以,應(yīng)用空間向量的數(shù)量積可證,從而有DCPA,由于與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面．又在面內(nèi)，故面⊥面; (2)寫出向量的空間坐標(biāo),然后利用公式:可求出所求兩直線所成角的余弦值; （3）先求分別出二面角的兩個(gè)面: 平面ACB和平面MAC的一個(gè)法向量,從而就可求出二面角的余弦值,進(jìn)而就可求出其正弦值．
試題解析：
以為坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）證明：因
由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面．又在面內(nèi)，故面⊥面 
（2）解：因故，所以
所以，AC與PC所成角的余弦值為 
（3）解：易知平面ACB的一個(gè)法向量
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量則，不妨取 
設(shè)二面角的平面角為則，
則
所以