Question

【題目】若存在常數(shù)，使對(duì)任意的，都有，則稱數(shù)列為數(shù)列.

（1）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.若是數(shù)列，求的取值范圍；

（2）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.

①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

②設(shè)，試證明：存在常數(shù)，對(duì)于任意的，數(shù)列都是數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）寫出，通過恒成立，即可求解；

（2）①由題求出首項(xiàng)，根據(jù)，，兩式相減，得出遞推關(guān)系即可得證；②求出通項(xiàng)公式，根據(jù)定義建立不等式求解最值.

（1）由題可得：，是數(shù)列，

恒成立，對(duì)任意的恒成立，

對(duì)任意的恒成立，

所以；

（2）①由題：，，兩式相減得：

，

，數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，

所以，

，兩式相減得：

，，

當(dāng)n=1時(shí)，可得，數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，

所以

當(dāng)n=2時(shí)，可得，

所以=4

綜上可得：數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

②由①可得：，，

，對(duì)任意的恒成立，

，，

，對(duì)于任意m<0該不等式恒成立，

即存在常數(shù)，對(duì)于任意的，數(shù)列都是數(shù)列.