Question

【題目】已知點(diǎn)，過點(diǎn)D作拋物線的切線l，切點(diǎn)A在第二象限．

（1）求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)．

（2）有一離心率為的橢圓恰好經(jīng)過切點(diǎn)A，設(shè)切線l與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，切線l，的斜率分別為，若成等差數(shù)列，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）縱坐標(biāo)；（2）.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，點(diǎn)D 的坐標(biāo)代入切線方程可得，再由點(diǎn)A在拋物線上有，得解；（2）由橢圓的離心率得，代入橢圓方程并與直線的方程聯(lián)立得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用k、b表示出、，由成等差數(shù)列可得，由已知條件將上式轉(zhuǎn)化為關(guān)于k、b的方程即可求得b，從而求得橢圓方程.

（1）設(shè)切點(diǎn)，則有，

，，由切線l的斜率為，得l的方程為，

又點(diǎn)在l上，所以，即，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)．

（2）由（1）得，切線斜率，

設(shè)，切線方程為，

由得，

又，所以，所以橢圓方程為．

由得，，．

又因為成等差數(shù)列，所以，

即

，

解得，所以，所以橢圓方程為．