Question

【題目】，．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程．

（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

①求的最大整數(shù)值；

②證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）① 2； ②證明見解析.

【解析】

（1）求得時(shí)函數(shù)的解析式，求得的值，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，即可求解；

（2）由題意可得恒成立．

①先證明，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性即可作出證明；同理可證得，再討論和，即可求得的最大值．

②由①知，令，可得，得到，利用累加結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.

（1）當(dāng)時(shí)，，可得，

又由，則，

則所求切線方程為，即．

（2）由函數(shù)，可得，

若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立．

①先證明，設(shè)，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，即．

同理可證，

所以，所以．

當(dāng)時(shí)，恒成立；

當(dāng)時(shí)，，不恒成立，

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

綜上所述，的最大整數(shù)值為2．

②證明：由①知，令，

∴，∴，

由此可知，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

…，

當(dāng)時(shí)，，

累加得．

又，

∴，

即．