Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，離心率為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與線段和橢圓短軸分別交于兩個不同點(diǎn)，，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦長列方程，解方程求得，由此求得橢圓方程.

（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值，根據(jù)的取值范圍以及弦長公式，求得的最小值.

（1）由題可知：，且，

解得，，.

則橢圓的方程為；

（2）把代入得，

設(shè)，，則，，

又，，

因，所以，即，

所以，

因為與線段和橢圓短軸分別交于兩個不同點(diǎn)，，

所以，又，

則，

故，，

因為直線即與線段及橢圓的短軸分別交于不同兩點(diǎn)，由于，直線過，

所以，即，且，

所以

，

因為，且，

所以當(dāng)或時的最小值為.