Question

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作傾斜角為（）的直線交曲線于、兩點(diǎn).

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并寫出直線的參數(shù)方程；

（2）過點(diǎn)的另一條直線與垂直，且與曲線交于，兩點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（為參數(shù)） ；（2）28.

【解析】

（1）利用公式法對(duì)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化，根據(jù)點(diǎn)和傾斜角寫出直線的參數(shù)方程.

（2）兩條直線的參數(shù)方程分別與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，由的幾何意義和韋達(dá)定理，即可求得結(jié)果.

（1）由得，

∴為曲線的直角坐標(biāo)方程，

由作傾斜角為的直線的參數(shù)方程為:（為參數(shù)）.

（2）將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得：

，

顯然，設(shè)，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，

則，∴，

由于直線與垂直，可設(shè)直線的參數(shù)方程為:（為參數(shù)）

與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立同理可得：

，

∴.

當(dāng)或者時(shí)，取得最小值為.