Question

（本小題滿分12分）
如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)。
（1）求證：AB₁//面BDC₁；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（3）若在線段AB₁上存在點(diǎn)P，使得CP面BDC₁，試求AA₁的長及點(diǎn)P的位置。

Answer 1

（1）AB₁//面BDC₁
（2）二面角C₁—BD—C的余弦值：
（3）AA₁=2，點(diǎn)P位置是在線段AB₁上且

（2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC­₁，面ABC，
則BC平面AC₁，CC₁AC
如圖建系，則
設(shè)平面C₁DB的法向量為    則
又平面BDC的法向量為
二面角C₁—BD—C的余弦值：  8分
（3）設(shè)，
 
又面BDC₁，
解得 
所以AA₁=2，點(diǎn)P位置是在線段AB₁上且 12分