Question

如圖，已知平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，
且．將此平面四邊形沿折成直二面角，
連接，設(shè)中點(diǎn)為．

（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)；（3）.

解析試題分析：（1）分別證明，即可；（2）方法一：先以為原點(diǎn)，分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，，，，為中點(diǎn)，故，設(shè)點(diǎn)，利用平面得，據(jù)此可解出；方法二：作交于，注意到，故與相似，因此，于是得；（3）方法一：由于，即為平面的法向量，，，要求直線與平面所成角的正弦值，記直線與平面所成角為，根據(jù)直線與面的夾角正弦正好等于直線與面的法向量的夾角余弦的絕對(duì)值，則知，故只需計(jì)算即可，利用余弦公式有，故；方法二：由于，所以可以轉(zhuǎn)而考慮與平面所成角，為此需要找到在平面內(nèi)的投影，此投影與所成角即為線面夾角，然后求與平面所成角的正弦，于是在中作，而平面平面，由此平面，即為在平面內(nèi)的投影，就等于直線與平面所成角， ，
在中，，，
故.
試題解析：（1）直二面角的平面角為，又，<