【題目】設(shè)數(shù)列
的前
項和
，
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令
，記數(shù)列
前n項和為
，求；
（3）利用第二問結(jié)果，設(shè)
是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)n，使等式
成立？若存在，求出和相應(yīng)的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
;（2）
（3）當(dāng)
時，存在正整數(shù)
，使等式
成立，當(dāng)
時，不存在正整數(shù)
使等式成立.
【解析】
（1）直接由
與
的關(guān)系求解；
（2）將（1）中求得的結(jié)果代入
，化簡后利用裂項相消法求和；
（3）將
表示為含n的等式，利用
是整數(shù)，找出符合條件的n即可.
（1）令n＝1得，
；當(dāng)n
時，
，
所以
（2）當(dāng)
時，
,此時
，又
∴
.
故
，
當(dāng)時，
.
（3）若
，
則等式為
，
不是整數(shù)，不符合題意；
若，則等式為
，
∵是整數(shù), ∴
必是
的因數(shù), ∵時
∴當(dāng)且僅當(dāng)時，
是整數(shù)，從而是整數(shù)符合題意.
綜上可知，當(dāng)時，存在正整數(shù)，使等式成立，
當(dāng)時，不存在正整數(shù)使等式成立
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]
（Ⅰ）求圖中
的值，并估計該班期中考試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；
（Ⅱ）從成績不低于90分的學(xué)生和成績低于50分的學(xué)生中隨機選取2人，求這2人成績均不低于90分的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】黨的十九大報告指出,要推進綠色發(fā)展,倡導(dǎo)“簡約知適度、綠色低碳”的生活方式，開展創(chuàng)建“低碳生活,綠色出行”等行動.在這一號召下,越來越多的人秉承“能走不騎，能騎不坐,能坐不開”的出行理念，盡可能采取乘坐公交車騎自行車或步行等方式出行,減少交通擁堵,共建清潔、暢通高效的城市生活環(huán)境.某市環(huán)保機構(gòu)隨機抽查統(tǒng)計了該市部分成年市民某月騎車次數(shù),統(tǒng)計如下:
人數(shù) 年齡 |
|
|
|
|
|
|
18歲至31歲 | 8 | 12 | 20 | 60 | 140 | 150 |
32歲至44歲 | 12 | 28 | 20 | 140 | 60 | 150 |
45歲至59歲 | 25 | 50 | 80 | 100 | 225 | 450 |
60歲及以上 | 25 | 10 | 10 | 19 | 4 | 2 |
聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織于2013年確定新的年齡分段:44歲及以下為青年人,45歲至59歲為中年人,60歲及以上為老年人.
(I)若從被抽查的該月騎車次數(shù)在
的老年人中隨機選出兩名幸運者給予獎勵，求其中一名幸運者該月騎車次數(shù)在
之間,另一名幸運者該月騎車次數(shù)在
之間的概率;
(Ⅱ)用樣本估計總體的思想，解決如下問題:
(
)估計該市在32歲至44歲年齡段的一個青年人每月騎車的平均次數(shù);
(
） 若月騎車次數(shù)不少于30次者稱為“騎行愛好者”，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“騎行愛好者”與“青年人”有關(guān)?
參考數(shù)據(jù):
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點．
(1)求證：EF⊥BC；
(2)求二面角E－BF－C的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)如下表：
溫度x/℃ | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 |
產(chǎn)卵個數(shù)y/個 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |
（I）根據(jù)散點圖判斷，
與
哪一個適宜作為產(chǎn)卵數(shù)
關(guān)于溫度
的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
（Ⅲ）紅鈴蟲是棉區(qū)危害較重的害蟲，可從農(nóng)業(yè)、物理和化學(xué)三個方面進行防治，其中農(nóng)業(yè)方面防治有3種方法，物理方面防治有1種方法，化學(xué)方面防治3種方法，現(xiàn)從7種方法中選3種方法進行綜合防治（即3種方法不能全部來自同一方面，至少來自兩個方面），X表示在綜合防治中農(nóng)業(yè)方面的防治方法的種數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．
附：可能用到的公式及數(shù)據(jù)表中（表中
，
=
，
= 
，
= 
）
|
|
|
|
|
|
|
27.430 | 3.612 | 81.290 | 147.700 | 2763.764 | 705.592 | 40.180 |
對于一組數(shù)據(jù)
,
，……，
,其回歸線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，平面
平面
，
，
．設(shè)
，
分別為
，
中點．
（1）求證：
平面
；
（2）求證：
平面
；
（3）試問在線段
上是否存在點
，使得過三點，，的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某理財公司有兩種理財產(chǎn)品A和B，這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨立）：
產(chǎn)品A
投資結(jié)果 | 獲利40% | 不賠不賺 | 虧損20% |
概率 |
|
|
|
產(chǎn)品B
投資結(jié)果 | 獲利20% | 不賠不賺 | 虧損10% |
概率 | p |
| q |
注：p＞0，q＞0
（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品A和產(chǎn)品B投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于
，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）若丙要將家中閑置的10萬元人民幣進行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，則選用哪種產(chǎn)品投資較理想？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某農(nóng)產(chǎn)品從5月1日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到該農(nóng)產(chǎn)品種植成本Q（單位：元/
）與上市時間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：
t | 50 | 110 | 250 |
Q | 150 | 108 | 150 |
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述該農(nóng)產(chǎn)品種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式：
，
，
，
.
（2）利用你選取的函數(shù)，求該農(nóng)產(chǎn)品種植成本最低時的上市時間及最低種植成本.
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