設(shè)橢圓C:

(a〉b>0)的左焦點為

,橢圓過點P(

)
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點D(l,0),直線l:

與橢圓C交于A、B兩點,以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形,求k的取值范圍.
解 (1)由題意知

,b2 = a2-3,由

得 2a4-11a2 + 12 = 0,
所以(
a2-4)(2
a2-3)= 0,得
a2 = 4或

(舍去),
因此橢圓
C的方程為

. ……………… 4分
(2)由

得

.
所以4
k2 + 1>0,

,
得 4
k2 + 1>
m2. ① ……………… 6分
設(shè)
A(
x1,
y1),
B(
x2,
y2),
AB中點為
M(
x0,
y0),
則

,

,
于是

,

,

.
設(shè)菱形一條對角線的方程為

,則有
x =-
ky + 1.
將點
M的坐標(biāo)代入,得

,所以

. ②
將②代入①,得

,
所以9
k2>4
k2 + 1,解得
k∈

. ……………… 12分
法2:


則由菱形

對角線互相垂直,即直線
l與

垂直,由斜率的負(fù)倒數(shù)關(guān)系可整理得

,即-3
km = 4
k2 + 1,即

, 代入①即得.
法3: 設(shè)
A(
x1,
y1),
B(
x2,
y2),
AB中點為
M(
x0,
y0),
則

,

,于是,兩式相減可得

,
即
x0 + 4
ky0 = 0. ①
因為
QD⊥
AB,所以

. ②
由①②可解得

,

,表明點
M的軌跡為線段

(

).
當(dāng)

,
k∈(

,+∞);當(dāng)

,
k∈(-∞,

).
綜上,
k的取值范圍是
k∈

.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
.(本題滿分14分)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O,焦點在X軸上,橢圓短半軸長為1,動點

在直線

上。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)求以線段OM為直徑且被直線

截得的弦長為2的圓的方程;
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點,過點F作直線OM的垂線與以線段OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值,并求出這個定值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知橢圓

的左、右焦點分別為

、

,

是橢圓上一點,

是

的中點,若

,則

的長等于( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓


經(jīng)過點

,一個焦點是

.
(I)求橢圓

的方程;
(II)設(shè)橢圓

與

軸的兩個交點為

、

,不在

軸上的動點

在直線

上運動,直線

、

分別與橢圓

交于點

、

,證明:直線

經(jīng)過焦點

.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
P是橢圓

上任意一點,F(xiàn)
1、F
2是焦點,那么∠F
1PF
2的最大值是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
P是橢圓

上的點,F(xiàn)
1、F
2是兩個焦點,則|PF
1|·|PF
2|的最大值與最小值之差是______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
橢圓

上一點P到左焦點的距離為

,則P到左準(zhǔn)線的距離為_________
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若過橢圓

=1內(nèi)一點(2,1)的弦被該點平分,則該弦所在直線的方程是______
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