Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為。

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于點(diǎn)、，以線段為直徑的圓能否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若能，求出直線的方程，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，直線的方程為：.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義求得，根據(jù)兩個(gè)定點(diǎn)求得c，由此求得b，進(jìn)而求得曲線的方程.（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到，即，將前面韋達(dá)定理得到的表達(dá)式代入，化簡(jiǎn)求得的值，由此求出符合題意的直線的方程.

(1)設(shè)，由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓.它的短半軸，故曲線C的方程為.

(2)設(shè)直線，分別交曲線C于，，其坐標(biāo)滿足 ,消去并整理得.故 ，.若以線段AB為直線的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即,

而，于是

化簡(jiǎn)得，所以，所以 所以直線l的方程為：