Question

已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1．
求證：（Ⅰ）a+b+c≥

3

；
（Ⅱ）

a bc

+

b ca

+

c ab

≥

3

（

a

+

b

+

c

）．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：（Ⅰ）由題意可得，只需證（a+b+c）²≥3，只需證a²+b²+c²≥1，只需證a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，只需證
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b+c≥

3

，證明

a bc

+

b ca

+

c ab

≥

3

（

a

+

b

+

c

），只需證明

1

abc

≥

a

+

b

+

c

，結(jié)合基本不等式，即可得證．

解答： 證明：（Ⅰ）要證原不等式成立，只需證（a+b+c）²≥3，即證a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需證：a²+b²+c²≥1，即a²+b²+c²-1≥0，
因?yàn)閍b+bc+ca=1．所以，只需證：a²+b²+c²-（ab+bc+ca）≥0，
只需證：2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0顯然成立，
故原不等式成立；
（Ⅱ）∵

a bc

+

b ca

+

c ab

=

a+b+c

abc

，
由（Ⅰ）知，a+b+c≥

3

，
∴證明

a bc

+

b ca

+

c ab

≥

3

（

a

+

b

+

c

），
只需證明

1

abc

≥

a

+

b

+

c

，
即證明：a

bc

+b

ac

+c

ab

≤ab+bc+ca，
∵a

bc

≤

ab+ac

2

，b

ac

≤

ab+bc

2

，c

ab

≤

ac+bc

2

，
∴a

bc

+b

ac

+c

ab

≤ab+bc+ca，
∴

a bc

+

b ca

+

c ab

≥

3

（

a

+

b

+

c

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，是解題的關(guān)鍵．