Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列且其對(duì)邊分別為a，b，c，已知acosC+ccosA=

3

．
（Ⅰ）求邊b的值；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）在△ABC中，內(nèi)acosC+ccosA=

3

，利用余弦定理將關(guān)系式中的角的余弦轉(zhuǎn)化為邊，即可求得邊b的值；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，可得B的值，利用正弦定理可得S_△ABC=

1

2

acsinB=2sinAsinCsin

π

3

，利用A+C=

2π

3

，轉(zhuǎn)化為只含角A的三角關(guān)系式，利用兩角差的正弦及輔助角公式可得S_△ABC=

3

2

sin（2A-

π

6

）+

3

4

，從而可得其最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由余弦定理得：a•

b2+a2-c2

2ab

+c•

b2+c2-a2

2bc

=

3

，
解得：b=

3

；
（Ⅱ）∵在△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
∴B=

π

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

3 2

=2得：a=2sinA，c=2sinC，
又A+C=

2π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=2sinAsinCsin

π

3

=

3

sinAsinC=

3

sinAsin（

2π

3

-A）
=

3

sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=

3

4

sin2A+

3

2

•

1-cos2A

2

=

3

2

sin（2A-

π

6

）+

3

4

，
∵0＜A＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
∴當(dāng)2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時(shí)，取“=”．
∴△ABC面積的最大值為：

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，突出考查三角恒等變換的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．