Question

【題目】定義為n個正數(shù)的“均倒數(shù)”．已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式．

（2）設數(shù)列的前n項和為，若4<對一切恒成立試求實數(shù)m的取值范圍．

(3)令，問：是否存在正整數(shù)k使得對一切恒成立，如存在求出k值，否則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在正整數(shù)k=10使得對一切恒成立．

【解析】

(1)由題意首先確定數(shù)列的前n項和，然后利用前n項和與通項公式的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式即可；

(2)首先裂項求和求得，然后結(jié)合前n項和的范圍得到關(guān)于m的不等式，求解不等式即可確定實數(shù)m的取值范圍；

(3)解法一：計算的值，確定取得最大值時的n的取值即可求得實數(shù)k的值；

解法二：由題意可知，滿足題意時有，據(jù)此求解實數(shù)k的范圍，結(jié)合k為正整數(shù)即可求得實數(shù)k的值.

(1)設數(shù)列的前n項和為，

由于數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為，

所以，

=，

當，

當，

（對當成立），

．

(2)==，

==，

<對一切恒成立，

，

解之得，

即m的取值范圍是．

(3)解法一：=，

由于=，

時，時，

時取得最大值，

即存在正整數(shù)k=10使得對一切恒成立．

解法二：=，

假設存在正整數(shù)k使得則為數(shù)列中的最大項，

由得，

，

又，

k=10，

即存在正整數(shù)k=10使得對一切恒成立．