【題目】設(shè)
，其中
，函數(shù)
在點
處的切線方程為
，其中
.
（1）求
和
并證明函數(shù)有且僅有一個零點；
（2）當(dāng)
時，
恒成立，求最小的整數(shù)
的值.
【答案】（1）
，證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)
在點
處的切線方程為
，可得
，
即可求得
的值，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及特殊點的函數(shù)值，可判斷函數(shù)只有一個零點.
（2）當(dāng)
時，
，由此
；猜想
的最小值為
，再證明
，在
時恒成立，即可求得.
解：（1）
所以定義域為
，
又因為函數(shù)在點處的切線方程為
所以
當(dāng)時，
，即
，解得
，函數(shù)
在上單調(diào)遞減
由于
，
，則函數(shù)有且僅有一個零點．
（2）一方面，當(dāng)時，，由此；
所以猜想的最小值為，
下證：當(dāng)時，，在時恒成立，
記函數(shù)
，
，
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減
；
記函數(shù)
，
，
在
上單調(diào)減，在
上單調(diào)減
，即
；
，成立
又因為
和
不能同時在同一處取到最大值，
所以當(dāng)時，
恒成立
所以最小整數(shù)．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
的參數(shù)方程為
（
，
為參數(shù)），以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線經(jīng)過點
，曲線
的直角坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程，曲線的極坐標方程；
（2）若
，
是曲線上兩點，當(dāng)
時，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù) F (x) = e x 滿足 F ( x) = g ( x) + h( x) ，且 g ( x), h( x) 分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)．
（1）求函數(shù) h(x)的反函數(shù)；
（2）已知(x) = g(x 1)，若函數(shù)(x)在 [1,3]上滿足(2 a+1) 
，求實數(shù) a 的取值范圍；
（3）若對于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) ≥ 0 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論
的導(dǎo)數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若有兩個極值點
，
，求實數(shù)
的取值范圍，并證明
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
，已知函數(shù)
，
.
（Ⅰ）設(shè)
，求
在
上的最大值.
（Ⅱ）設(shè)
，若
的極大值恒小于0，求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量分別在
，
，
，
，
，
（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.
（1）經(jīng)計算估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（2）現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為，的芒果中隨機抽取6個，再從這6個中隨機抽取3個，求這3個芒果中恰有1個在內(nèi)的概率.
（3）某經(jīng)銷商來收購芒果，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：
A：所有芒果以10元/千克收購；
B：對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的以3元/個收購，通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示,三棱柱
的側(cè)面
是圓柱的軸截面,C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點。
(1)若圓柱的軸截面是正方形,當(dāng)點C是弧AB的中點時,求異面直線
與AB的所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；
(2)當(dāng)點C是弧AB的中點時,求四棱錐
體積與圓柱體積的比.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】每年的4月23日為“世界讀書日”，某調(diào)查機構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否喜愛閱讀的抽樣調(diào)查.該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同性別的學(xué)生（其中男生45名），統(tǒng)計了每個學(xué)生一個月的閱讀時間，其閱讀時間
（小時）的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）求樣本學(xué)生一個月閱讀時間的中位數(shù)
.
（2）已知樣本中閱讀時間低于的女生有30名，請根據(jù)題目信息完成下面的
列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為閱讀與性別有關(guān).
列聯(lián)表
男 | 女 | 總計 | |
| |||
| |||
總計 |
附表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 |
其中：
.
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