Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的導數(shù)的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點，，求實數(shù)的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）見解析.

【解析】

（1）求出，令，對，討論來求的單調(diào)性；

（2）將有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為有兩解，繼續(xù)轉(zhuǎn)化為有兩解，構(gòu)造函數(shù)，求導為其極小值，可得，即可求得實數(shù)的取值范圍；另外要證明，不妨設(shè)，則，由（1）根據(jù)的單調(diào)性得，通過變形，轉(zhuǎn)化為證明，進一步變形證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究其最小值即可證明．

（1）由題意，得.

設(shè)，則.

①當時，，所以在上單調(diào)遞增.

②當時，由，得.

當時，，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上單調(diào)遞增.

（2）由于有兩個極值點，，即在上有兩解，，

即，顯然，故等價于有兩解，，

設(shè)，則，

當時，，所以在單調(diào)遞減，

且，時，，時，；

當時，，所以在單調(diào)遞減，且時，；

當時，，所以在單調(diào)遞增，且時，，

所以是的極小值，有兩解，等價于，得.

不妨設(shè)，則.

據(jù)（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

由于，，且，則，

所以，，

即，，

欲證明：，等價于證明：，

即證明：，只要證明：，

因為在上單調(diào)遞減，，

所以只要證明：，

由于，所以只要證明：，

即證明：，

設(shè)，據(jù)（1），

，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，

即，

故.