Question

【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷、商品種類(lèi)齊全、性?xún)r(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類(lèi)推；y表示人數(shù))：

x	1	2	3	4	5
y(萬(wàn)人)	20	50	100	150	180

（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)到哪一年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人；

（2）該公司為了吸引網(wǎng)購(gòu)者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費(fèi)購(gòu)物券”活動(dòng)，網(wǎng)購(gòu)者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車(chē)在方格圖上行進(jìn). 若遙控車(chē)最終停在“勝利大本營(yíng)”，則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券500元；若遙控車(chē)最終停在“失敗大本營(yíng)”，則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車(chē)開(kāi)始在第0格，網(wǎng)購(gòu)者每拋擲一次骰子，遙控車(chē)向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù)，遙控車(chē)向前移動(dòng)一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車(chē)向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車(chē)移到第19格勝利大本營(yíng)）或第20格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車(chē)移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券金額的期望值.

附：在線性回歸方程中，.

Answer 1

【答案】（1），預(yù)計(jì)到2022年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人；

（2）約400元.

【解析】

（1）依題意，先求出，代入公式即可得到，，可得回歸方程為，令，．所以預(yù)計(jì)到2022年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)；

（2）遙控車(chē)移到第（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.

①遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出偶數(shù)，其概率為

②遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出奇數(shù)，其概率為

所以，即可證得是等比數(shù)列，

利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得失敗和獲勝的概率，從而計(jì)算出期望.

解：（1）

故 從而

所以所求線性回歸方程為，

令，解得.

故預(yù)計(jì)到2022年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人

（2）遙控車(chē)開(kāi)始在第0格為必然事件，，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)，遙控車(chē)移到第一格，其概率為,即.遙控車(chē)移到第（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.

①遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出奇數(shù)，其概率為

②遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出偶數(shù)，其概率為

所以，

當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列

以上各式相加，得

（），

獲勝的概率

失敗的概率

設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為元，或

X的期望

參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為，約400元.