Question

【題目】設(shè)，已知函數(shù)，.

（Ⅰ）設(shè)，求在上的最大值.

（Ⅱ）設(shè)，若的極大值恒小于0，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，因?yàn)?/span>在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值就是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大的一個(gè)，利用作差法比較它們的大小，即可得到函數(shù)在上的最大值.

（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)得出，從而得到，，通過換元并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的最大值，即可證明.

（Ⅰ）由題知，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

從而的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是

從而，,

于是；

當(dāng)時(shí)，，所以;

當(dāng)時(shí)，，所以；

綜上所得

（Ⅱ）依題知，則，因?yàn)?/span>存在極大值，則關(guān)于x的方程，有兩個(gè)不等的正根，不妨，則，得，且,

設(shè)列表如下：

	+	0	—	0	+
	+	0	—	0	+
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

從而極大值，又，

從而，對(duì)恒成立,

設(shè)，，則

因?yàn)?/span>，所以

所以在上遞增，從而

所以，,

設(shè)，則，又.

若，；若，；

從而，即.