Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當時，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)；

（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】 (1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：

（1）由題意得，再令，利用導數(shù)可得在取得最小值，且，于是，從而得到在上是單調(diào)遞增函數(shù)．（2）由題意分離參數(shù)可得當時，恒成立．令，利用導數(shù)可得到當時，取得最小值，且，從而可得，即為所求的范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴，

令，

則，

則當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增．

∴函數(shù)在取得最小值，且最小值為，

∴在上恒成立，

∴在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

（2）由題意得當時，恒成立，

∴當時，恒成立．

令，

則，

令，

則.

∴時，單調(diào)遞增，

∴，即．

∴當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增.

∴當時，取得最小值，且，

∴．

故實數(shù)的取值范圍為.