Question

已知雙曲線

x2

25

-

y2

144

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上求一點(diǎn)P，使|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項(xiàng)？若能，求出P的坐標(biāo)，若不能，說明理由．

Answer 1

分析：先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用題中條件、雙曲線的第一定義、第二定義，求出|PF₁|=

25

4

，進(jìn)而分析出雙曲線左支上任意一點(diǎn)到F₁的距離最小為-5-（-13）=8＞

25

4

，故點(diǎn)P不存在．

解答：解：由題意得：a=5，b=12，c=13，F(xiàn)₁（-13，0），F(xiàn)₂（13，0），左準(zhǔn)線為l：x=-

25

13

，
設(shè)點(diǎn)P（x，y），|PF₁|²=d•|PF₂|，又

|PF1|

d

=e=

c

a

=

13

5

，∴|PF₁|=

5

13

•|PF₂|，
又|PF₂|-|PF₁|=10，∴|PF₁|=

25

4

，|PF₂|=

65

4

，
∵雙曲線左支上任意一點(diǎn)到F₁（-13，0）的距離最小為-5-（-13）=8＞

25

4

，
故雙曲線左支上不存在點(diǎn)P，使|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)開放型的題目，考查雙曲線的第一、第二定義，及雙曲線的性質(zhì)．