Question

（2012•浙江模擬）定義：過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB成為該雙曲線的焦點(diǎn)弦．已知雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1，那么過(guò)改雙曲線的左焦點(diǎn)，長(zhǎng)度為整數(shù)且不超過(guò)2012的焦點(diǎn)弦條數(shù)是（　　）

A．4005

B．4018

C．8023

D．8036

Answer 1

分析：雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1中，左焦點(diǎn)F₁（-

34

，0）．雙曲線過(guò)左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦可以分為兩類：第一類，端點(diǎn)均在左支上，最短的為通徑，第二類，端點(diǎn)分別在兩支，最短為實(shí)軸．由此入手能夠求出結(jié)果．

解答：解：雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1中，a²=25，b²=9，c²=34，
左焦點(diǎn)F₁（-

34

，0）
雙曲線過(guò)左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦可以分為兩類：
第一類，端點(diǎn)均在左支上，最短的為通徑，
將x=-

34

代入橢圓方程，得
y²=

81

25

，|y|=

9

5

，∴通徑長(zhǎng)為2|y|=

18

5

=3.6，
∵長(zhǎng)度為整數(shù)且不超過(guò)2012，
∴符合條件的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為4，5，6，…，2012，
根據(jù)對(duì)稱性每個(gè)弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)2條弦，共2×（2012-3）=4018．
第二類，端點(diǎn)分別在兩支，最短為實(shí)軸，
2a=10，符合題意的弦長(zhǎng)：10，11，12，…，2012，
弦長(zhǎng)為10的只有1條，其它的對(duì)應(yīng)2條，
∴滿足條件的弦共有：1+2（2012-10）=4005，
兩類合計(jì)共4018+4005=8023條．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，具體涉及到雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線和直線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．