Question

【題目】若方程|x2﹣2x﹣1|﹣t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， 且x1＜x2＜x3＜x4 ， 則2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（4 ，8+2 ）
【解析】解：如圖，由|x2﹣2x﹣1|﹣t=0得到：t=|（x﹣1）2﹣2|，則0＜t＜2． ∴2＜2+t＜4.0＜2﹣t＜2．
∴4 ＜4 ＜8，0＜2 ＜2 ，
∴4 ＜4 +2 ＜8+2 ．
∵方程|x2﹣2x﹣1|﹣t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x1＜x2＜x3＜x4 ，
∴x1+x4=x2+x3=2，x1x4=﹣1﹣t，x2x3=﹣1+t，
∴2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）
=2 +
=2 +
=4 +2 ，
∴4 ＜2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）＜8+2 ．
故答案是：（4 ，8+2 ）．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．