Question

【題目】已知首項為1的正項數(shù)列{an}滿足ak+1=ak+ai（i≤k，k=1，2，…，n﹣1），數(shù)列{an}的前n項和為Sn ．
（1）比較ai與1的大小關系，并說明理由；
（2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求 的值；
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵首項為1的正項數(shù)列{an}滿足ak+1=ak+ai（i≤k，k=1，2，…，n﹣1），數(shù)列{an}的前n項和為Sn．

∴ak+1﹣ak=ai＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，即1＜a2＜a3＜…＜an．

∴ai＞1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）

（2）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；

∵{an}是等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的公比為2．

∵ak+1﹣ak=ai（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），

∴當i=k時有ak+1=2ak．

這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數(shù)列．

∴ ．∴{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，

∴ = =

（3）解：證明：∵1=a1=1，2=a2=2，3≤a3≤22，4≤a4≤23，…，n≤an≤2n﹣1，

由上面n個式子相加，得到：1+2+3+…+n≤a1+a2+a3+…+an≤20+21+22+…+2n﹣1，

化簡得 ＜a1+a2+a3+…+an）＜2n﹣1，

∴

【解析】（1）利用數(shù)列的單調(diào)性即可比較ai與1的大小關系．（2）利用遞推關系、等比數(shù)列的通項公式即可得出 的值．（3）利用“累加求和”與不等式的性質即可證明： ．
【考點精析】關于本題考查的等比數(shù)列的基本性質，需要了解{an}為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項不為零的常數(shù)列才能得出正確答案．