Question

已知函數(shù)f（x）在定義域R上的值不全為零，若函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于（1，0）對稱，函數(shù)f（x+3）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則下列式子中錯誤的是（　�。�

• A、f（-x）=f（x）
• B、f（x-2）=f（x+6）
• C、f（-2+x）+f（-2-x）=0
• D、f（3+x）+f（3-x）=0

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件求得f（4-x）=-f（x） …①、f（x+4）=f（4-x） …②、f（x+8）=f（x） …③．再利用這3個結(jié)論檢驗各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于（1，0）對稱，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對稱，
令F（x）=f（x+1），則F（x）=-F（2-x），
故有 f（3-x）=-f（x+1），f（4-x）=-f（x） …①．
令G（x）=f（3-x），
∵其圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴G（2+x）=G（-x），
即f（x+5）=f（3-x），
∴f（x+4）=f（4-x）  …②．
由①②得，f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=f（x）  …③．
∴f（-x）=f（8-x）=f（4+4-x），
由②得 f[4+（4-x）]=f[4-（4-x）]=f（x），
∴f（-x）=f（x），∴A對．
由③得 f（x-2+8）=f（x-2），即 f（x-2）=f（x+6），∴B對．
由①得，f（2-x）+f（2+x）=0，又f（-x）=f（x），
∴f（-2-x）+f（-2+x）=f（2-x）+f（2+x）=0，∴C對．
若f（x+3）+f（3-x）=0，則f（6+x）=-f（x），∴f（12+x）=f（x），
由③可得f（12+x）=f（4+x），又f（x+4）=-f（x），∴f（x）=-f（x），∴f（x）=0，與題意矛盾，∴D錯，
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的應(yīng)用，函數(shù)的圖象及圖象變換．