Question

【題目】已知函數(shù),為的導函數(shù).

(1)求證:在上存在唯一零點;

(2)求證:有且僅有兩個不同的零點.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】

(1) 設，然后判斷函數(shù)在上的符號，得出的單調(diào)性，再利用零點存在定理判斷在上是否存在唯一零點即可；

(2) 分，，和三種情況分別考慮的零點存在情況，從而得證．

(1)設，

當時，，所以在上單調(diào)遞減，

又因為，

所以在上有唯一的零點，所以命題得證．

(2) ①由(1)知：當時，，在上單調(diào)遞增;

當時，，在上單調(diào)遞減;

所以在上存在唯一的極大值點

所以

又因為

所以在上恰有一個零點．

又因為

所以在上也恰有一個零點．

②當時，，

設，

所以在上單調(diào)遞減，所以

所以當時，恒成立

所以在上沒有零點．

③當時，

設，

所以在上單調(diào)遞減，所以

所以當時，恒成立

所以在上沒有零點．

綜上，有且僅有兩個零點．