Question

【題目】已知函數f（x）=log ．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=log ．

定義域需滿足： ，即﹣x2+2x+8＞0

解得：﹣2＜x＜4

∴f（x）的定義域為{x|﹣2＜x＜4}

（2）解：設u=﹣x2+2x+8，對數的底數小于1，根據性質可知，函數f（x）= 是減函數，

函數u=﹣x2+2x+8=﹣（x+1）2+9，t=

∴0＜u≤9

∴0＜t≤3，

∵f（x）= 在（0，+∞）減函數，

∴f（x）的值域是[ ，+∞）

【解析】（1）由真數大于零即不等式即可得到函數的定義域。（2）利用復合函數的性質結合二次函數的最值情況即可得出函數的值域。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的定義域及其求法的相關知識，掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零，以及對函數的值域的理解，了解求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．