Question

【題目】已知拋物線 ，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn) 的直線交拋物線于 兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）如果點(diǎn) 恰是線段 的中點(diǎn)，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題設(shè)可知 ，所以拋物線方程為

（Ⅱ）方法一：設(shè) ，則

又 ，相減整理得

所以直線 的方程是 ，即 .

方法二：由題設(shè)可知直線 的斜率存在，

設(shè)直線 的方程為 ， ，

由 ，消去 ，得 ，

易知 ， ，

又 所以 ，

所以直線 的方程是 ，即 .

【解析】（I）根據(jù)拋物線的定義可得；
（II）方法一：應(yīng)用點(diǎn)差法可得直線AB的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可求直線AB的方程;
方法二：根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)中點(diǎn)公式可得斜率k,即可。