Question

【題目】如圖，某校打算在長為1千米的主干道一側(cè)的一片區(qū)域內(nèi)臨時搭建一個強基計劃高校咨詢和宣傳臺，該區(qū)域由直角三角形區(qū)域（為直角）和以為直徑的半圓形區(qū)域組成，點（異于，）為半圓弧上一點，點在線段上，且滿足.已知，設(shè)，且.初步設(shè)想把咨詢臺安排在線段，上，把宣傳海報懸掛在弧和線段上.

（1）若為了讓學生獲得更多的咨詢機會，讓更多的省內(nèi)高校參展，打算讓最大，求該最大值；

（2）若為了讓學生了解更多的省外高校，貼出更多高校的海報，打算讓弧和線段的長度之和最大，求此時的的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）由題意，結(jié)合三角恒等變換的公式，求得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

（2）由題意，取線段的中點，連接，求得弧長和線段的長度之和表達式，設(shè)，，得到，結(jié)合導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

（1）由題意，在中，可得，

在中，可得，

在中，可得，

所以

.

因為，則，

所以當且僅當，即時，取得最大值，且最大值為千米.

（2）取線段的中點，連接，則.

由（1）知，，

故的長為，

則和線段的長度之和

，.

設(shè)，，，，

則，

因為，，所以，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故.

易知函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，所以，

所以，

所以當且僅當時，和線段的長度之和最大.