Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)， 時(shí)，對(duì)任意，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)， 時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)， 時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）

【解析】試題分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)對(duì)分類討論，明確函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)任意，有成立，等價(jià)于． ，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 為與中的較大者．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

當(dāng)時(shí)， ，所以．

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，令，解得，

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)， 時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)， 時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）因?yàn)閷?duì)任意，有成立，所以．

當(dāng)即時(shí)， ， ．

令，得；令，得．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

為與中的較大者．

設(shè) ，

則，

所以在上單調(diào)遞增，故所以，

從而 ．

所以即．

設(shè) ，則．

所以在上單調(diào)遞增．

又，所以的解為．

因?yàn)?/span>，所以的取值范圍為．