Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足以MA為直徑的圓與y軸相切．過(guò)A作直線(xiàn)x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂線(xiàn)，垂足為B，則|MA|+|MB|的最小值為（ ）

A.2B.2C.D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)M（x，y），求出點(diǎn)軌跡方程y2＝4x，即可得M的軌跡是拋物線(xiàn)，其焦點(diǎn)為A（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)為x＝﹣1，過(guò)點(diǎn)M作MD與準(zhǔn)線(xiàn)垂直，且交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)D，分析可得直線(xiàn)x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，﹣2），設(shè)P（3，－2），由點(diǎn)性質(zhì)可得B在以AP為直徑的圓上，由拋物線(xiàn)的定義可得又由|MA|＝|MD|，則|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，通過(guò)（為中點(diǎn)，圓心）結(jié)合圖形分析可得答案．

根據(jù)題意，設(shè)M（x，y），以MA為直徑的圓的圓心為（，），

又由動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足以MA為直徑的圓與y軸相切，則有（）2＝（1）2+（）2，

變形可得：y2＝4x，

則M的軌跡是拋物線(xiàn)，其焦點(diǎn)為A（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)為x＝﹣1，

過(guò)點(diǎn)M作MD與準(zhǔn)線(xiàn)垂直，且交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)D，

設(shè)直線(xiàn)l為x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0，變形可得m（y+2）＝y﹣x+5，

∴可得直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，﹣2），

設(shè)P（3，－2），設(shè)AP的中點(diǎn)為C，則C的坐標(biāo)為（2，﹣1），|CP|，

若AB⊥l，則B在以AP為直徑的圓上，該圓的方程為，

又由|MA|＝|MD|，則|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，

則當(dāng)C、M、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|MA|+|MB|取得最小值，且|MA|+|MB|取得最小值為圓上的點(diǎn)到D的最小值，

此時(shí)|MA|+|MB|min＝|CD|﹣r＝3，

故選：D．