Question

【題目】已知橢圓，圓（為坐標(biāo)原點）.過點且斜率為的直線與圓交于點，與橢圓的另一個交點的橫坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的方程和圓的方程；

（2）過圓上的動點作兩條互相垂直的直線，，若直線的斜率為且與橢圓相切，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線與橢圓相切，詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)圓過點可得圓的方程為：，根據(jù)過點且斜率為的直線過點，可得，可得直線與橢圓相交的另一個交點坐標(biāo)為，將其代入橢圓方程可得橢圓的方程為；

（2）設(shè)圓上的動點，所以，設(shè)直線：，將其代入，得，利用判別式為0，可得，設(shè)直線：，將其代入，利用判別式為0可證直線與橢圓相切.

（1）因為圓過點，所以圓的方程為：.

因為過點且斜率為的直線方程為，

又因為過點，所以.

因為直線與橢圓相交的另一個交點坐標(biāo)為，

所以，解得.

所以橢圓的方程為.

（2）直線與橢圓相切.理由如下：

設(shè)圓上的動點，所以.

依題意，設(shè)直線：.

由得.

因為直線與橢圓相切，

所以.

所以.

所以.

因為，所以.

所以.

設(shè)直線：，

由得.

則

.

所以直線與橢圓相切.