Question

【題目】如圖， 是圓的直徑，點是圓上異于、的點，直線度平面， 、分別是、的中點．

（Ⅰ）設(shè)平面與平面的交線為，求直線與平面所成角的余弦值；

（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線與圓的另一個交點為點，且滿足， ，當二面角的余弦值為時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求線面角，一般利用空間向量進行求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角之間互余關(guān)系求解，（2）研究二面角，一般利用空間向量進行列式求解參數(shù)，先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角之間關(guān)系列式

試題解析：（Ⅰ）∵平面，∴，

又∵，∴平面，

∵， 分別是， 的中點，所以，

又∵平面， 平面，

∴面，

又∵平面，平面平面，

∴直線直線，

∴，

∴直線與平面所成角為直角， ．

（Ⅱ）設(shè)，則，如圖建立平面直角坐標系．　

面的一個法向量為 ，可求出面的一個法向量，

可求出.