Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，, 點是的中點，，且交于點 .
（I）求證：平面；
（II）求二面角的余弦值大�。�
（III）求證：平面⊥平面.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（II）二面角的余弦值為．（III）證明見解析

（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié).
是正方形，∴是的中點. ----------1分
是的中點，∴是的中位線. ∴. ----------2分
又∵平面，平面，----------3分
∴平面.------------------4分
（II）如圖，以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
由故設(shè)，則
. ----------6分
底面，
∴是平面的法向量，．----------7分
設(shè)平面的法向量為,
,
則 即 
∴           令,則. ----------9分
∴,
∴二面角的余弦值為．------------------10分
（III），，
----------11分
  又且.----------12分
. 又平面   ----------13分
∴平面⊥平面.    ------------------14分