Question

如圖，已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及x₀的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，求f（x）在[B，x₀）上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖知，A=2，

T

2

=2π，易求ω=

1

2

；由圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），|φ|＜

π

2

，可求得φ=

π

6

，于是可得函數(shù)f（x）的解析式；依題意，

1

2

x₀+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），利用x₀是最小的正數(shù)，即可求得其值；
（2）△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，易知B=

π

3

，從而有

π

3

≤x＜

2π

3

，

π

3

≤

1

2

x+

π

6

＜

π

2

，

3

2

≤sin（

1

2

x+

π

6

）＜1，f（x）在[

π

3

，

2π

3

）上的值域可求．

解答： 解（1）∵由圖知，A=2，

T

2

=2π，即T=

2π

ω

=4π，∴ω=

1

2

．（2分）
∴f（x）=2sin（

1

2

x+φ），由圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）得f（0）=2sinφ=1，
又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

），----（4分）
∴

1

2

x₀+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x₀=4kπ+

2π

3

（k∈Z），
根據(jù)圖象可得x₀是最小的正數(shù)，則x₀=

2π

3

----（6分）
（2）在△ABC中，∵角A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，即3B=A+B+C=π，
∴B=

π

3

---（8分）
由（1）知，x₀=

2π

3

，
∴[B，x₀）=[

π

3

，

2π

3

），
∵f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

），
∴當(dāng)

π

3

≤x＜

2π

3

時(shí)，

π

3

≤

1

2

x+

π

6

＜

π

2

，
∴

3

2

≤sin（

1

2

x+

π

6

）＜1，

3

≤2sin（

1

2

x+

π

6

）＜2
即f（x）∈[

3

，2）．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查識(shí)圖、運(yùn)算及求解能力，屬于中檔題．